Basiswissen Analysis by Burkhard Lenze
Autor:Burkhard Lenze
Die sprache: deu
Format: epub
ISBN: 9783658299224
Herausgeber: Springer Fachmedien Wiesbaden
Beweis
Zunächst sei eine konvergente Folge, d. h. es existiert ein Grenzwert , so dass gilt:
Daraus folgt aber sofort für alle mit Hilfe der Dreiecksungleichung
also genau das Cauchy-Kriterium.
Nun sei eine sogenannte Cauchy-Folge, d. h. es gelte:
Daraus folgt zunächst wegen
dass alle Folgenglieder der Ungleichung
genügen, also die Folge nach oben und nach unten beschränkt ist. Definiert man nun für alle die Größen
die aufgrund der Vollständigkeit der reellen Zahlen existieren, dann ist die Folge offenbar monoton wachsend und nach oben beschränkt sowie die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt. Also existieren nach dem Monotonie- und Beschränktheitskriterium die Grenzwerte und mit
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