Grundlagen der Differenzialgleichungen fur Dummies by Sigg Timm

Autor:Sigg Timm
Die sprache: deu
Format: epub
Herausgeber: WILEY VCH
veröffentlicht: 2011-08-11T16:00:00+00:00

Zusammenhang zwischen Ableitungen, Steigungen, Krümmungen, Zu- und Abnahmen, sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung

Differenzialgleichungen sind Gleichungen, in denen Ableitungen auftreten. Ableitungen haben Sie im ersten Teil kennen gelernt (siehe Kapitel 3).

In der praktischen Anwendung von Differenzialgleichungen können nun die Variablen y und x für ganz unterschiedliche Größen stehen.

Zur Erinnerung:

x heißt unabhängige Variable, y hingegen abhängige Variable, da sie von x abhängt.

Natürlich tragen die Variablen dann auch ganz andere Bezeichnungen.

Hierzu ein paar Beispiele:

Ein Auto fährt auf einer Autobahn. Es beschleunigt, bremst, fährt streckenweise mit konstanter Geschwindigkeit usw. Sie wollen die Strecke x, die dieses Auto zurücklegt in Abhängigkeit von der Zeit t messen (oder auch berechnen; das spielt hier noch keine Rolle). Die Funktion lautet

x(t) .

Die Temperatur T in einem Motor hängt vom Druck p ab, der in dem Motor herrscht. Die Funktion lautet

T(p) .

Die Anzahl der radioaktiven Atome N, die nach der Zeit t noch nicht zerfallen sind, kann man berechnen, wenn man die radioaktive Zerfallskonstante λ und die Anzahl der zu Beginn vorhandenen Atome N0 kennt. Die Funktion lautet

N(t) .

Bemerkung: In der Funktion tauchen λ und N0 natürlich auch auf, aber die unabhängige Variable lautet dennoch t und die abhängige N.

Der Preis P eines Produkts hängt von der zur Verfügung stehenden Angebotsmenge A dieses Produkts ab. Die Funktion lautet

P(A) .

Ich denke, das Prinzip ist klar geworden. Sie müssen sich mehr und mehr davon lösen, dass Funktionen y = f(x) heißen. Sämtliche Buchstaben können nun auftreten. Das soll Sie aber nicht weiter stören.

Haben Sie sich auch gefragt, ob der Preis eines Produkts nicht noch von viel mehr Größen abhängt? Von der Nachfrage zum Beispiel? Oder die Temperatur in einem Motor? Hängt die nicht auch noch von vielen weiteren Größen ab? Und zwar nicht spezifischen unveränderbaren Größen, sondern echten unabhängigen Variablen.

Klare Antwort: Doch!

Selten nur hängt eine abhängige Größe nur von einer einzigen unabhängigen Variablen ab. Dies führt auf die so genannten Funktionen mehrerer Variabler oder auch Funktionen mehrerer Veränderlicher. Ein spannendes Thema ohne Zweifel. Doch es übersteigt die Ansprüche dieses Buches bei Weitem.

Die Differenzialgleichungen, die entstehen, wenn man Funktionen nach mehreren Variablen ableitet, sind die so genannten partiellen Differenzialgleichungen. Und um diese zu lösen, benötigt man wieder ganz andere Werkzeuge als Sie sie hier kennen lernen.

Was die auftretenden Ableitungen angeht, verwende ich folgende Konventionen:

Die Ableitung(en) werden mit einem (oder mehreren) Punkt(en) gekennzeichnet, wenn Sie nach der Zeit t ableiten wie in ẋ(t) oder in (t)

Ansonsten werden die Ableitung(en) mit einem (oder mehreren) Strich(en) gekennzeichnet, wie in y ′(x) oder in T′′(p)

Sollte nicht ganz klar sein, nach welcher Größe abgeleitet wird, so weiche ich auf die etwas formalere Schreibweise des Differenzialquotienten aus, wie in

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